Analiza spectrală (în algebra liniară)
Marea Enciclopedie Sovietică
Analiza spectrală a sintezei operatorilor liniari a apărut din mecanica teoriei și valorilor proprii ale matricei vectorilor proprii (transformări m. E. liniare spațiu dimensional) caz dimensional (a se vedea. Operatorul liniar. Operatorii de teorie). Sistemul studiat prin mișcarea oscilație o teorie cu n grade de libertate în vecinătatea pozițiilor de echilibru stabil, care este descris de un sistem de ecuații diferențiale liniare ale formei. unde x este un vector n-dimensional al generalizate de coordonate ale sistemului abaterilor de la valorile lor de echilibru și A - este o matrice simetrică pozitiv definită. O astfel de mișcare poate fi reprezentat ca o superpoziție de oscilații armonice n (t n vibratii normale ..) Cu frecvențe circulare egale cu rădăcinile pătrate ale valorilor proprii ale tuturor posibile l k matricea A. Găsirea oscilații normale ale sistemului se reduce la găsirea tuturor valorilor proprii l k; și x k vectori proprii ale lui A. Mulțimea tuturor valorilor proprii ale matricei se numește spectrul său. Dacă matricea A - simetrică, spectrul său este format din n numere reale l 1. ln (unele dintre ele pot să coincidă unele cu altele), iar matricea în sine cu ajutorul noului sistem de coordonate poate fi diagonalizată, adică .. s transformare liniară corespunzătoare în spațiu tridimensional n- (.. n t auto • transformare adjoint) permite o reprezentare specială - t n .. descompunerea spectrală a formei
unde E 1. E n - proiecții pe direcții reciproc perpendiculare ale vectorilor proprii x 1 x n. Asymmetric aceeași matrice A (care corespunde transformării liniare non-selfadjoint) este, în general, un spectru format din numere complexe l l 1. 1. și pot fi convertite doar la o mai complicată decât diagonală, forma Jordan [vezi. (Iordania) Forma normală matrice], care corespunde reprezentării unei transformări A liniară mai complexă decât descompunerea spectrală convențională descrisă mai sus.
Când studierea oscilații despre starea sistemelor de echilibru cu un număr infinit de grade de libertate (de exemplu, șir omogen sau neomogen), cu sarcina de a găsi valorile proprii și vectorii proprii ale unei transformări liniare în spațiu finit trebuie să fie extins la o anumită clasă de transformări liniare (m. Operatori E. liniare) într-un infinit spațiu liniar. În multe cazuri (inclusiv, în special, cazul unui șir vibratoare) corespunzătoare operatorului poate fi scrisă sub forma care acționează în spațiul funcțiilor f (x) al operatorului integral A, deci aici
unde K (x, y) - este definită pe un pătrat £ x, y £ b o funcție continuă a două variabile care satisfac condiția de simetrie (x, y) = (y, x). În aceste cazuri, operatorul A are întotdeauna un sistem complet de reciproc ortogonali j k funcții proprii. care corespunde secvenței numărabilă de valori proprii reale l k. constituenții în spectrul lor totalitatea A. Dacă considerăm funcțiile pentru care operatorul A funcționează ca vectori ai unui spațiu Hilbert, atunci acțiunea A este, ca și în cazul unui spațiu de sistem finit de auto transformare adjoint extensibilitate redusă de-a lungul axelor ortogonale reciproc cu coeficienți lk jk întindere (lk la <0 такое растяжение имеет смысл растяжения с коэффициентом |l k |. объединённого с зеркальным отражением), а сам оператор А здесь снова будет иметь спектральное разложение вида
unde E k - proiecții pe direcția j k.
═ S. a. dezvoltat inițial pentru operatori integrali cu K simetrică nucleu (x, y). specific și continuu într-o regiune mărginit, a fost apoi, în cadrul teoriei generale a operatorilor extins la multe alte tipuri de operatori liniari (de exemplu, operatori integrali cu un nucleu care are o caracteristică sau stabilită într-o regiune nelegata a operatorilor diferențiale în spațiile de funcții ale uneia sau mai multor variabile și t d..), precum și abstracte operatorilor liniari predeterminate în spații liniare infinite. Sa constatat, totuși, că o astfel de distribuție este asociat cu o complicație semnificativă S. a. deoarece pentru mulți operatori și funcții liniare valori proprii, care trebuie înțeleasă în sensul obișnuit, nu există. Prin urmare, în cazul general, spectrul trebuie să fie determinată nu ca total al autovalorile A, ci ca un set de acele valori pentru care agentul (A - l E) -1. unde E - identitatea (identitate) operatorul nu există, sau definit numai prin set dens, sau este un operator nemarginit. Toate valorile proprii sunt cele ale spectrului și formează spectrul său discret împreună; restul spectrului este adesea numit un operator de spectru continuu [numit uneori și un spectru continuu al pluralității l, la care operatorul (A - l E) -1 determinat pe un set dens de elemente ale spațiului, dar este nelimitată, și toate punctele spectrului, care nu aparțin unei discrete sau într-un spectru continuu numit spectru rezidual].
Cele mai dezvoltate și S .. Autoadjuncți operatori liniari în spațiul Hilbert (generalizează matrice simetrică) și operatorilor liniari unitare în același spațiu (generalizează matrici unitare). Un operator autoadjunct într-un spațiu Hilbert este întotdeauna spectru pur reale (discrete, continue sau mixte) și permite descompunerea spectrală a formei
unde E (l) - t n .. partiția unității (corespunzătoare A). t. e. o familie de operatori de proiecție. condiții speciale satisfăcătoare. Punctele spectrului în acest caz sunt punctul de creștere al funcției operatorului E (l); în cazul spectrului pur discrete sunt E neregulate (l). așa că aici
═ și descompunerea spectrală (*) se reduce la descompunerea
═ operatorul unitar în spațiu Hilbert are un spectru situat pe circumferința | l | = 1, și permite descompunerea spectrală aferente (*) al formei, dar cu înlocuirea de integrare de la - ¥ ¥ la integrarea peste cercul. Am studiat o clasă specială de operatori normali în spațiu Hilbert, reprezentat într-o reprezentare similară (*) forma, dar care au dreptul de integrare extinsă la un set mai general al planului complex de puncte l reprezintă gama A. În ceea ce privește S. a. non-selfadjoint și non-normale operatorilor liniari generalizează matrice non-simetrică arbitrară, ar fi făcut obiectul a numeroase lucrări de către J .. Birkhoff (USA), T. Carleman (Suedia), M. V. Keldysha, M. G. Kreyna (URSS), AB Szőkefalvi-Nagy (Ungaria), Dunford (SUA) și multe altele. oameni de știință, dar cu toate acestea teoria corespunzătoare este încă departe de a fi completă finalitate.
S. a. operatori liniari are un număr de aplicații importante în mecanica clasică (în special vibrații teorie) electrodinamică, mecanica cuantică, teoria proceselor stocastice, ecuații diferențiale și integrale, și altele. domenii de matematică și fizică matematică.
Lit. P. Courant și D. Hilbert, Metode de matematică fizică, Acad. cu ea. 3rd ed. t 1, Moscova - Leningrad 1951 .; Ahiezer N. I. Glazman IM Teoria operatorilor liniari în spațiu Hilbert, 2nd ed. M. 1966; Teoria Plesner AI spectrală a operatorilor liniari, M. 1965; Rice Sz. F. Nagy Lectures analiză funcțională, trans. cu Franța. Moscova, 1954; Analiza Sz.-Nagy Foias C. armonica de operatori pe spațiu Hilbert, trans. cu Franța. M. 1970; N. Dunford și JT Schwartz. T. Liniar operatori Lane. din limba engleză. h 2-3, M. 1966-1974 .; Keldysh M. V. Lidskiy V. B. Întrebări teoria spectrală a operatorilor de auto-conjugat în carte. Tr. 4a unională matematică Congres, vol. 1, L. 1963, p. 101-20.
Ponderea pe pagina